Nato il 1° dicembre 1695 a Ponte in Valtellina, Francesco Saverio Quadrio studiò nel locale collegio dei gesuiti, all'età di quindici anni entrò nella compagnia di Gesù (decisione giovanile della quale si sarebbe in seguito amaramente pentito) e completò gli studi a Bologna (filosofia), Padova (medicina e storia naturale) e ancora a Bologna (teologia).
Appassionato di poesia, compose in gioventù un poema dal titolo Il Cavaliere errante che in seguito rinnegò e distrusse.
Dal 1727 insegnò a Parma e in altre città e nel 1731 prese i voti solenni ma la sua appartenenza alla Compagnia gli creò seri problemi quando prese a pubblicare la sua opera Della storia e della ragione di ogni poesia. In seguito la pubblicazione del suo trattato Della poesia italiana fu vietata dalla censura, Quadrio la pubblicò sotto falso nome ma fu scoperto e punito, nel 1736 fu trasferito a Modena e rimosso dall'insegnamento.
Si dedicò allora completamente alla Storia e della ragione di ogni poesia ottenendo nel 1738 la licenza di stampa del primo volume ma per la pubblicazione sorsero altre difficoltà tanto che il secondo volume uscì soltanto nel 1742.
Trasferitosi a Milano, divenne amico di Carlo Antonio Tanzi ed entrò nell'Accademia dei Trasformati della quale faceva parte anche Pietro Verri.
Continuando l'ostilità della Compagnia, Quadrio decise di uscirne e chiese udienza al papa Benedetto XIV che aveva conosciuto quando era ancora il cardinale Prospero Lambertini. Non ebbe il permesso di lasciare la Compagnia e, ossessionato dalle angherie dei confratelli, fuggì in Svizzera poi in Francia cercando alleati che lo aiutassero a tornare all'abito secolare.
Nel 1748 incontrò di nuovo il papa e questa volta ottenne il permesso di uscire dall'Ordine prima per tre anni, poi definitivamente.
Completò con gli ultimi due volumi Della storia e della ragione di ogni poesia fra il 1749 e il 1752.
Scrisse anche opere minori, trattati di linguistica, un'ampia raccolta di componimenti in versi che non fu mai pubblicata.
Negli ultimi anni di vita scrisse Dissertazioni critico-storiche intorno alla Rezia di qua delle Alpi, oggi detta Valtellina, opera di erudizione in tre volumi dedicata a Benedetto XIV.
Morì il 21 novembre 1756 nel convento dei Barnabiti di S. Alessandro a Milano dove si era ritirato dal 1754.